Exercices de Math´ematiques Sous-espaces vectoriels ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit E l’espace vectoriel de toutes les fonctions de [0, 1] dans IR. Les parties suivantes sont-elles des sous-espaces vectoriels de E ? 1. A = {f ∈ E, 2f(0) = f(1)}. 2. B = {f ∈ E, f(1) = f(0) + 1}. 3. C = {f ∈ E, f ≥ 0}. 4. D = {f ∈ E, f(x) ≡ f(1 − x)}. 5. F = {f ∈ E, f polynˆomiale de degr´e 4}. 6. G = {f ∈ E, f polynˆomiale de degr´e ≤ 4}. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. Montrer que F ∪ G est un sous-espace vectoriel de E ⇔ F ⊂ G ou G ⊂ F. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] A, B, C sont des sous-espaces vectoriels de E tels que : A ∩ C ⊂ B, C ⊂ A + B et B ⊂ C. Montrer que B = C. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que dans l’espace vectoriel E de toutes les fonctions f de IR dans IR, les ensembles P et I form´es respectivement des fonctions paires et impaires forment deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soient A, B, C, D quatre sous-espaces vectoriels de E tels que E = A ⊕ B = C ⊕ D. On suppose que A ⊂ C et B ⊂ D. Montrer que A = C et B = D. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un IK-espace vectoriel. 1. Soient E1 et E2 deux sous-espaces de E tels que E = E1 + E2. Soit F2 un suppl´ementaire de E1 ∩ E2 dans E2. Montrer que E = E1 ⊕ F2. 2. Soient E1, E2, . . . , En des sous-espaces de E tels que E = E1 + E2 + · · · + En. Montrer qu’il existe des sous-espaces F1, F2, . . . , Fn de E tels que pour tout indice j on ait l’inclusion Fj ⊂ Ej et tels que E = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fn. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.