Exercices de Math´ematiques Projections et sym´etries vectorielles ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient f et g deux endomorphismes de E. Montrer que si f et g commutent, alors Ker f et Im f sont stables par g. Prouver que si f est un projecteur alors la r´eciproque est vraie. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient p et q deux projecteurs de E. Montrer que p + q est un projecteur de E ⇔ p ◦ q = q ◦ p = 0. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient p et q deux projecteurs de E. Montrer que p et q ont mˆeme noyau ⇔ p = p ◦ q et q = q ◦ p. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit p un projecteur non nul de E. Montrer que l’application fλ = Id + λp est injective ⇔ λ ̸= −1. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace vectoriel sur IK. D´eterminer les couples (f, g) d’endomorphismes de E tels que : � f ◦ g = f g ◦ f = g Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.