Exercices de Math´ematiques Applications lin´eaires, noyaux, images ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f un endomorphisme de E, commutant avec tous les endomorphismes de E. Montrer que f est de la forme λId, avec λ ∈ IK. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient E, F, G trois espaces vectoriels, et g une application lin´eaire de F dans G. On d´efinit ϕ de L(E, F) vers L(E, G) en posant ϕ(f) = g ◦ f. Montrer que ϕ est une application lin´eaire. On suppose que g est injective. Que peut-on dire de ϕ ? Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient E, F, G trois espaces vectoriels sur IK, f ∈ L(E, G) et g ∈ L(F, G). Montrer que Im f ⊂ Im g ⇔ ∃ h ∈ L(E, F), tel que f = g ◦ h. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient E, F, G trois espaces vectoriels sur IK, f ∈ L(E, G) et g ∈ L(E, F). Montrer que Ker g ⊂ Ker f ⇔ ∃ h ∈ L(F, G), tel que f = h ◦ g. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soient E, F, G trois espaces vectoriels. Soit f dans L(E, F) et g dans L(F, G). On dit que f, g forment une suite exacte si Im f = Ker g. On se donne les espaces vectoriels Ek et Fk, avec k ∈ {1, . . . , 5}. On se donne les applications lin´eaires fk : Ek → Ek+1, gk : Ek → Ek+1, hk : Ek → Fk. On suppose que les suites fk, fk+1 et gk, gk+1 sont exactes. On suppose qu’on a les ´egalit´es hk+1 ◦ fk = gk ◦ hk. La situation est r´esum´ee dans le sch´ema ci-dessous : f1 f2 f3 f4 E1 → E2 → E3 → E4 → E5 ↓ h1 ↓ h2 ↓ h3 ↓ h4 ↓ h5 F1 → F2 → F3 → F4 → F5 g1 g2 g3 g4 1. Montrer que si h2, h4 sont injectives et h1 est surjective alors h3 est injective. 2. Montrer que si h2, h4 sont surjectives et h5 est injective, alors h3 est surjective. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une application lin´eaire de E dans F. Montrer que si u est injective alors pour tous sous-espaces vectoriels F et G en somme directe, f(F) et f(G) sont en somme directe. Est-ce que la r´eciproque est vraie ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.