Exercices de Math´ematiques Applications lin´eaires en dimension finie ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient f ∈ L(E, F) et g ∈ L(F, G), E ´etant de dimension finie. Montrer que dim(Im f ∩ Ker g) = dim Im f − dim Im (g ◦ f). Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient f et g deux endomorphismes de E (de dimension finie). On suppose que E = Im f + Im g = Ker f + Ker g. Montrer que ces deux sommes sont directes. Montrer que ce r´esultat n’est plus valable si on ne suppose pas dim E < ∞. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un IK-espace vectoriel de dimension finie n. Soit f un endomorphisme de E. 1. On suppose que pour tout u de E, il existe un entier m tel que f m(u) = −→0 . Montrer qu’il existe un entier p tel que pour tout u de E, f p(u) = −→0 . 2. Montrer que ce r´esultat est faux si on ne suppose plus que E est de dimension finie. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient E et F deux IK-espaces vectoriels, E ´etant de dimension finie. Soient f et g deux applications lin´eaires de E dans F. 1. Comparer Im (f + g) et Im f + Im g. En d´eduire que rang (f + g) ≤ rang (f) + rang (g). 2. Montrer l’´equivalence : rang (f + g) = rang (f) + rang (g) ⇔ � Im f ∩ Im g = {−→0 } E = Ker f + Ker g Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace vectoriel de dimension finie. Soient f et g dans L(E), tels que f ◦ g = 0 et f + g ∈ GL(E). Montrer que rang f + rang g = dim E. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soient E, F, G trois espaces vectoriels, E et F ´etant de dimension finie. Soit f dans L(E, F) et g dans L(F, G). 1. Montrer que dim Ker g ◦ f ≤ dim Ker g + dim Ker f. 2. Montrer que rang f + rang g − dim F ≤ rang g ◦ f ≤ inf(rang f, rang g). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.