Cours de Math´ematiques Espaces vectoriels, applications lin´eaires Sommaire Espaces vectoriels, Applications lin´eaires Sommaire I Espaces vectoriels, alg`ebres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.1 Structure d’espace vectoriel et d’alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.2 Combinaisons lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 I.3 Espaces vectoriels et alg`ebres classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II Sous-espaces vectoriels et sous-alg`ebres . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.1 D´efinitions et caract´erisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.2 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.3 Op´erations entre sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.4 Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.5 Sous-espaces suppl´ementaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 III Applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.1 D´efinitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.2 Exemples d’applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III.3 Op´erations sur les applications lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III.4 Noyau et image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.5 Projections et sym´etries vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 IV Familles libres, g´en´eratrices, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 IV.1 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 IV.2 Familles g´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 IV.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 V Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 V.1 Notion de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 V.2 Sous-espaces de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 V.3 Exemples d’espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . 20 V.4 Applications lin´eaires et dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 VI Formes lin´eaires, hyperplans, dualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 VI.1 Formes lin´eaires, espace dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 VI.2 Hyperplans et formes lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 VI.3 Bases duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 VI.4 Exemples de bases duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 VI.5 Equations d’un sous-espace en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . 25 Dans tout le chapitre, IK d´esigne IR ou lC. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.