Probl`emes de Math´ematiques Tranposition d’un endomorphisme ´Enonc´e Tranposition d’un endomorphisme IK d´esigne IR ou lC. E d´esigne un espace vectoriel de dimension finie sur IK. Pour tout endomorphisme f de E, et toute forme lin´eaire ϕ sur E, on note Tf(ϕ) = ϕ ◦ f. L’application f → Tf est appel´ee transposition de L(E). 1. (a) Montrer que la transposition est une application de L(E) dans L(E∗). [ S ] (b) Montrer que cette application est lin´eaire. [ S ] (c) Montrer de deux mani`eres diff´erentes que cette application est injective. [ S ] (d) Conclusion ? [ S ] 2. Montrer que pour tous endomorphismes f et g de E, T(g ◦ f) = Tf ◦ Tg. [ S ] 3. (a) Identifier l’application TIdE. [ S ] (b) Soit f un automorphisme de E. Montrer que Tf est un automorphisme de E∗ et que (Tf)−1 = T(f −1). [ S ] (c) R´eciproquement soit f un endomorphisme de E. On suppose que Tf est un automorphisme de E∗. Montrer de deux mani`eres que f est un automorphisme de E. [ S ] 4. Soit f un endomorphisme de E. Montrer que rg f = rg Tf. [ S ] 5. Soit (e) = e1, e2, . . . , en une base de E, et soit (e∗) la base duale. Soit f un endomorphisme de E, de matrice A dans la base (e). Montrer que la matrice de Tf dans la base (e∗) est TA. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.