Probl`emes de Math´ematiques Plus loin dans l’irrationnel ´Enonc´e Plus loin dans l’irrationnel Il n’est pas tr`es difficile de montrer que √ 2 + √ 3 + √ 5 est irrationnel. On se propose ici de g´en´eraliser consid´erablement ce genre de r´esultat. Pour cela, il est important de se munir de notations commodes. – On note P l’ensemble des nombres premiers. – Pour toute partie finie A de P, on note ΠA la racine carr´ee du produit des ´el´ements p de A. Par exemple, si A = {2, 5, 17}, alors ΠA = √ 2 · 5 · 17 = √ 170. Par convention Π∅ = 1. Il est clair que si A et B sont deux parties disjointes de P, alors ΠAΠB = ΠA∪B. – Pour toute partie E de P, le symbole �E A d´esigne une somme indic´ee sur une partie quelconque A de E. Par exemple, si E = {2, 5, 17}, S = �E A λAΠA est une somme de 23 termes, A parcourant P(E). Cette somme pourrait s’´ecrire, en notant par exemple λa,b,... plutˆot que λ{a,b,...} : S = λ∅ Π∅ + λ2 Π2 + λ5 Π5 + λ17 Π17 + λ2,5 Π2,5 + λ2,17 Π2,17 + λ5,17 Π5,17 + λ2,5,17 Π2,5,17 = λ∅ + λ2 √ 2 + λ5 √ 5 + λ17 √ 17 + λ2,5 √ 10 + λ2,17 √ 34 + λ5,17 √ 85 + λ2,5,17 √ 170 Bien sˆur, rien n’empˆeche d’´ecrire S = a + b √ 2 + c √ 5 + d √ 17 + e √ 10 + f √ 34 + g √ 85 + h √ 170 – Pour toute partie E de P, on note KE = {�E A λAΠA, λA ∈ Q}. KE est donc l’ensemble des combinaisons `a coefficients rationnels des ΠA, pour tous les A ⊂ E. Cette d´efinition donne imm´ediatement K∅ = Q. Voici quelques exemples : ⋄ K{2} = {a + b √ 2, (a, b) ∈ Q2} ⋄ K{2,5} = {a + b √ 2 + c √ 5 + d √ 10, (a, b, c, d) ∈ Q4} ⋄ K{2,5,17} = {a + b √ 2 + c √ 5 + d √ 17 + e √ 10 + f √ 34 + g √ 85 + h √ 170, (a, b, . . . , g, h) ∈ Q8} – Il est clair que si E ⊂ F ⊂ P , alors KE ⊂ KF . On verra plus loin que E ⊊ F ⇒ KE ⊊ KF . – Juste une petite remarque, en prenant par exemple E = {2, 5, 17} : Soit S = a + b √ 2 + c √ 5 + d √ 17 + e √ 10 + f √ 34 + g √ 85 + h √ 170 dans KE, avec (a, b . . . , g, h) dans Q8. Alors on peut ´ecrire : S = x + y √ 17, avec � x = a + b √ 2 + c √ 5 + e √ 10 y = d + f √ 2 + g √ 5 + h √ 10 donc (x, y) ∈ K 2 {2,5}. Dans tous le probl`eme, E d´esigne une partie de P. 1. On suppose que E est non vide. Montrer que ΠE est un irrationnel. [ S ] 2. Prouver que KE est un sous-anneau de R. [ S ] 3. On va montrer, par r´ecurrence sur n = card(E), que KE est un sous-corps de R. La propri´et´e est vraie si n = 0, car alors E = ∅ et on sait que K∅ = Q. On se donne donc un entier n ≥ 1, et on suppose que la propri´et´e est vraie au rang n − 1. On suppose que card(E) = n. On note q un ´el´ement de E, et G = E \ {q}. On se donne un ´el´ement z non nul de KE. Il s’agit de montrer que 1/z est dans KE. Bien sˆur, si z est dans KG, l’hypoth`ese de r´ecurrence montre que 1/z est dans KG donc dans KE. On suppose donc que z est dans KE mais pas dans KG. (a) Montrer qu’il existe x et y dans KG tels que z = x + y√q, avec x − y√q ̸= 0. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c ⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.