Probl`emes de Math´ematiques Crochet de Lie et projecteurs en dimension finie ´Enonc´e Crochet de Lie et projecteurs en dimension finie Dans tout le probl`eme : – n est un entier naturel non nul. – E est un espace vectoriel sur K (R ou C) de dimension finie n. – L(E) d´esigne l’ensemble des endomorphismes de E. Pour tous ´el´ements f, g de L(E), on note [ f, g ] = f ◦ g − g ◦ f. – PE d´esigne l’ensemble des projecteurs (projections vectorielles) de E. Premi`ere partie 1. Rappeler pourquoi il est possible de d´efinir la trace d’un endomorphisme de E. [ S ] 2. Rappeler pourquoi la trace d’un projecteur est ´egale `a son rang. [ S ] 3. Soient p dans PE, et f dans L(E) tels que [ p, f ] = αp, avec α ̸= 0. Montrer que p est l’application nulle. [ S ] 4. Sur l’ensemble PE, on pose p R q ⇔ p ◦ q = q ◦ p = p. Montrer que R est une relation d’ordre sur PE. [ S ] 5. Dans cette question, on suppose que E = K4. On pose A = 1 3 � � � � � 2 1 −2 0 0 3 0 0 −1 1 1 0 0 0 0 0 � � � � � Soit p dans L(E), de matrice A dans la base canonique. (a) Montrer que p est un projecteur de E. Pr´eciser une base (ε′) de l’image de p, et une base (ε′′) du noyau de p. On note alors (ε) la base de E obtenue par juxtaposition de (ε′) et de (ε′′). [ S ] (b) Caract´eriser par leur matrice dans (ε) les f de L(E) tels que [ p, f ] = 0. Interpr´eter le r´esultat obtenu en termes de stabilit´e. [ S ] (c) Caract´eriser par leur matrice dans (ε) les projecteurs q de E tels que p R q. [ S ] 6. Soit p un ´el´ement quelconque de PE, et soit f un ´el´ement de L(E). Montrer que [ p, f ] = 0 si et seulement si Im p et Ker p sont stables par f. [ S ] 7. Soient p, q deux projecteurs de E tels que [ p, q ] = 0. (a) Montrer que p ◦ q et p + q − p ◦ q sont dans PE. [ S ] (b) Montrer que, pour la relation R : – Le projecteur p ◦ q est le plus grand des minorants de p et q. – Le projecteur p + q − p ◦ q est le plus petit des majorants de p et q. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.