Probl`emes de Math´ematiques Projecteurs qui commutent ´Enonc´e Projecteurs qui commutent Dans tout le probl`eme, E est un espace vectoriel sur IK (IR ou lC). Premi`ere Partie 1. Soit p un projecteur de E et u un endomorphisme de E. Montrer que p et u commutent si et seulement si Ker p et Im p sont stables par u. 2. Soit q un projecteur de E et F un sous-espace vectoriel de E. Montrer que F est stable par q si et seulement si F = (F ∩ Ker p) ⊕ (F ∩ Im p). Indication : Dans le sens ⇒, on notera G un suppl´ementaire de (F ∩ Ker p) + (F ∩ Im p) dans F, et on montrera que tout x de G est nul en le d´ecomposant suivant Im p et Ker p. 3. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que deux projecteurs p, q de E commutent si et seulement si : E = (Ker p ∩ Ker q) ⊕ (Ker p ∩ Im q) ⊕ (Im p ∩ Ker q) ⊕ (Im p ∩ Im q) Deuxi`eme partie Dans cette partie (sauf question 8), p et q sont deux projecteurs de E qui commutent. On note : E1 = Ker p ∩ Ker q, E2 = Ker p ∩ Im q, E3 = Im p ∩ Ker q et E4 = Im p ∩ Im q. Pour k ∈ {1, 2, 3, 4}, on note πk la projection de E sur Ek parall`element `a ⊕j̸=kEj. On notera x = x1 +x2 +x3 +x4 la d´ecomposition d’un vecteur x de E suivant la somme directe E = E1 ⊕ E2 ⊕ E3 ⊕ E4. 1. (a) Calculer p(x), q(x), p ◦ q(x) en fonction de x1, x2, x3, x4. (b) Pour p et q, que repr´esentent E1 ⊕ E2, E3 ⊕ E4, E1 ⊕ E3, et E2 ⊕ E4 ? (c) Montrer que p◦q est un projecteur dont on pr´ecisera le noyau et l’image en fonction de ceux de p et q. 2. Exprimer les projecteurs IdE, p, q et p ◦ q en fonction de π1, π2, π3, π4 et r´eciproquement. 3. Pour tous (i, j) de {1, 2, 3, 4}2, calculer πi ◦ πj. 4. En d´eduire que : ∀(α, β, γ, δ) ∈ IK4, ∀ n ∈ IN, (απ1 + βπ2 + γπ3 + δπ4)n = αnπ1 + βnπ2 + γnπ3 + δnπ4 5. Exprimer (αIdE + βp + γq + δp ◦ q)n en fonction de IdE, p, q, et p ◦ q. 6. Montrer que : (a) E1 = {−→0 } ⇔ p ◦ q = p + q − IdE. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.