Probl`emes de Math´ematiques Noyaux et images it´er´es ´Enonc´e Noyaux et images it´er´es Soit E un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lC). Soit f un endomorphisme de E. On pose f 0 = IdE, et pour tout entier k ≥ 1, f k = f ◦ f k−1. 1. Montrer que (Im f k)k≥0 et (Ker f k)k≥0 forment respectivement une suite d´ecroissante et une suite croissante de sous-espaces vectoriels de E stables par f. [ S ] 2. Montrer que si Ker f k = Ker f k+1, alors ∀ m ≥ k : Ker f m = Ker f k. [ S ] 3. Montrer que si Im f k = Im f k+1, alors ∀ m ≥ k : Im f m = Im f k [ S ] 4. Montrer successivement : (a) Im f = Im f 2 ⇐⇒ E = Im f + Ker f. [ S ] (b) Ker f = Ker f 2 ⇐⇒ Im f ∩ Ker f = {−→0 }. [ S ] (c) E = Im f ⊕ Ker f ⇐⇒ Im f = Im f 2 et Ker f = Ker f 2. [ S ] 5. Soit s (en supposant qu’il existe) le plus petit k tel que Ker f k = Ker f k+1. Soit r (en supposant qu’il existe) le plus petit k tel que Im f k = Im f k+1. On veut montrer que r = s. (a) Montrer que si s ≤ r, alors Im f s = Im f r, puis s = r. [ S ] (b) Prouver que si r ≤ s, alors Ker f s = Ker f r, puis s = r. [ S ] (c) Conclure `a l’´egalit´e r = s. [ S ] (d) Montrer que E = Im f r ⊕ Ker f r. [ S ] (e) Etablir que la restriction de f `a Ker f r est nilpotente. [ S ] (f) Montrer que la restriction de f `a Im f r est un automorphisme de Im f r. [ S ] 6. On suppose que E est de dimension finie n. (a) Montrer que les entiers r et s existent, et que r = s ≤ n. [ S ] (b) Montrer que E = Im f ⊕ Ker f ⇐⇒ Im f = Im f 2 ⇐⇒ Ker f = Ker f 2. [ S ] 7. Donner un exemple des situations suivantes : (a) L’entier r existe, mais pas l’entier s. [ S ] (b) L’entier s existe, mais pas l’entier r. [ S ] (c) Aucun des entiers r et s n’existe. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.