Exercices de Math´ematiques Calculs avec le nombre j ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient a, b et c trois nombres complexes. R´esoudre le syst`eme � � � x + y + z = a x + jy + j2z = b x + j2y + jz = c Comment choisir a, b, c pour que les solutions soient r´eelles ? Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit Z = (x + jy + j2z)3, o`u x, y et z sont trois nombres complexes donn´es. Montrer que lorsqu’on permute x, y ou z, le nombre Z ne peut prendre que deux valeurs. A quelle condition ces deux valeurs sont-elles ´egales ? Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient x, y, z trois nombres r´eels. Montrer que : (x + y + z)(x + jy + j2z)(x + j2y + jz) = x3 + y3 + z3 − 3xyz Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] D´eterminer une CNS pour que A(a), B(b) et C(c) forment un triangle ´equilat´eral. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Trouver une condition n´ecessaire et suffisante sur z pour que les points A(z), B(z2), C(z3) forment un triangle ´equilat´eral. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Calculer les sommes � � � � � S = C 0 n + C 3 n + C 6 n + · · · T = C 1 n + C 4 n + C 7 n + · · · U = C 2 n + C 5 n + C 8 n + · · · Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.