Exercices de Math´ematiques Racines n-i`emes complexes (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] R´esoudre l’´equation (z + 1)n = cos 2na + i sin 2na. En d´eduire la valeur de Pn = sin a · sin � a + π n � · · · sin � a + n−1 n π � . Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soient ω0, . . . , ωn−1 les n racines n-i`emes de l’unit´e. Pour p ∈ ZZ, calculer Sp = n−1 � k=0 ωp k. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Calculer n−1 � k=0 (2 − ωk), o`u les ωk sont les racines n-i`emes de l’unit´e. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Dans lC, r´esoudre l’´equation z2n − 2zn cos nθ + 1 = 0. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Dans lC, r´esoudre l’´equation �1 − iz 1 + iz �n = 1 + ia 1 − ia (n ∈ IN∗, a ∈ IR). Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] On note z1, z2, . . . , zn les solutions de zn = a (avec ;;;a;;; = 1, n ∈ IN). Montrer que les points images de (1 + z1)n, (1 + z2)n, . . . , (1 + zn)n sont align´es. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.