Probl`emes de Math´ematiques Homographies du plan complexe ´Enonc´e Homographies du plan complexe Notations – On note �C = C ∪ {∞} l’ensemble obtenu en ajoutant `a C un point `a l’infini. Pour tout z de C∗, on pose par convention z/0 = ∞. – Pour tout quadruplet v = (a, b, c, d) de C4, on note δ(v) = ad − bc. On note E = {v = (a, b, c, d) ∈ C4, δ(v) ̸= 0}. A tout ´el´ement v de E on associe l’application hv de �C dans lui-mˆeme d´efinie par : ∀z ∈ C \ {−d/c}, hv(z) = az + b cz + d, hv(−d/c) = ∞, hv(∞) = a/c. Remarque : la convention z/0 = ∞ permet d’inclure le cas c = 0 dans la d´efinition de hv. Plus pr´ecis´ement, si c = 0 (donc a ̸= 0 et d ̸= 0) : ∀z ∈ C, hv(z) = az + b d , et hv(∞) = ∞. – On note H = {hv, v ∈ E}. Les ´el´ements de H sont appel´ees homographies de �C. – Pour tout (a, b) de C∗ × C, on note sa,b = ha,b,0,1. On note S = {sa,b, a ∈ C∗, b ∈ C}. L’application sa,b est donc d´efinie par sa,b(z) = az + b si z ∈ C et sa,b(∞) = ∞. Les ´el´ements de S sont appel´es similitudes directes de �C. – On consid`ere le plan euclidien orient´e, muni d’un rep`ere orthonorm´e direct. On identifie tout point M de ce plan avec son affixe z de C. Cette identification permet de parler des cercles et des droites de C. – Une droite de �C est la r´eunion �∆ = ∆ ∪ {∞}, o`u ∆ est une droite de C. On dit qu’une partie de �C est un cercle de �C si c’est un cercle de C ou une droite de �C. Les droites de �C sont donc les cercles de �C qui contiennent le point `a l’infini. Remarque : on consid`ere dans ce probl`eme que les cercles ont un rayon strictement positif. – On note �C l’ensemble dont les ´el´ements sont les cercles de �C. I. Le groupe des homographies 1. Soient u un ´el´ement de E. V´erifier que hλu = hu pour tout λ de C∗. On admettra que la r´eciproque est vraie. Ainsi hu = hv ⇔ ∃ λ ∈ C∗, v = λu. Identifier l’application hu quand u = (1, 0, 0, 1). [ S ] 2. Soient u = (a, b, c, d) et v = (a′, b′, c′, d′) deux ´el´ements de E. V´erifier que u ⊗ v = (aa′ + bc′, ab′ + bd′, ca′ + dc′, cb′ + dd′) est un ´el´ement de E. Montrer que hu ◦ hv = hu⊗v (on pourra se limiter au cas g´en´eral). [ S ] 3. Montrer que toute homographie hv est une bijection de �C sur lui-mˆeme. On v´erifiera plus pr´ecis´ement que h−1 v = hv′ avec v′ = (d, −b, −c, a). [ S ] 4. Montrer que H est un groupe (non commutatif) pour la loi de composition. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.