Probl`emes de Math´ematiques Homographies du demi-plan de Poincar´e ´Enonc´e Homographies du demi-plan de Poincar´e Notations – On note P = {z ∈ C, Im z > 0}. On dit que P est le demi-plan de Poincar´e. – Pour tout u = (a, b, c, d) de R4, on pose δ(u) = ad − bc. – On note E = {u = (a, b, c, d) ∈ R4, δ(u) = 1}. – Pour tout u = (a, b, c, d) de E, on note hu l’application d´efinie sur P par hu(z) = az + b cz + d. On note H l’ensemble des applications hu, pour tout u de E. Premi`ere partie Dans cette partie, on introduit une op´eration sur E et on en ´etudie quelques propri´et´es. Pour tous u = (a, b, c, d) et v = (α, β, γ, δ) de E, on pose u ⊗ v = (aα + bγ, aβ + bδ, cα + dγ, cβ + dδ). 1. Montrer que u ⊗ v est encore un ´el´ement de E. V´erifier qu’en g´en´eral u ⊗ v ̸= v ⊗ u. Par ailleurs, on admet que : ∀ (u, v, w) ∈ E, u ⊗ (v ⊗ w) = (u ⊗ v) ⊗ w. [ S ] 2. Montrer que e = (1, 0, 0, 1) est dans E et v´erifier que u ⊗ e = e ⊗ u = u. Dans toute la suite, pour tout u = (a, b, c, d) de E, on note u′ = (d, −b, −c, a). Montrer que u′ est dans E et que u ⊗ u′ = u′ ⊗ u = e. [ S ] 3. Pour tout u de E et tout n de N, on pose u0 = e et un+1 = un ⊗ u. Pour tout θ de R, on pose � r(θ) = (cos θ, − sin θ, sin θ, cos θ) s(θ) = ( ch θ, sh θ, sh θ, ch θ) (a) Pour tout r´eel θ, v´erifier que r(θ) et s(θ) sont des ´el´ements de E. [ S ] (b) Pour tous r´eels θ1 et θ2, calculer r(θ1) ⊗ r(θ2) et s(θ1) ⊗ s(θ2). [ S ] (c) Identifier r(0), r(θ)′, s(0), s(θ)′ et calculer r(θ)n et s(θ)n pour tout n de N. [ S ] Seconde partie Dans cette partie, on ´etudie certaines propri´et´es des ´el´ements h de H. 1. Dans cette question, u et v sont des ´el´ements quelconques de E. (a) Pour tout u = (a, b, c, d) de E et tout z de P, montrer qu’on a Im hu(z) = Im z ;;;cz + d;;;2 . En d´eduire que hu est une application de P dans P. [ S ] (b) Identifier he. Montrer qu’on a l’´egalit´e hv ◦ hu = hv⊗u. [ S ] (c) Montrer que hu est une bijection de P sur P, et que (hu)−1 = hu′. [ S ] 2. (a) Pour tout u de E, v´erifier que hu = idP si et seulement si u = e ou u = −e. [ S ] (b) En d´eduire que, pour tout u, v de E, on a : hu = hv ⇔ (u = v ou u = −v). [ S ] (c) D´eterminer les ´el´ements hu de H qui sont des involutions de P. [ S ] 3. (a) Dans cette question, on suppose que u ̸= ±e. Ainsi hu n’est pas l’identit´e de P. Montrer que hu a un point fixe dans P (il existe z dans P tel que hu(z) = z) si et seulement si ;;;a + d;;; < 2, et qu’alors ce point fixe est unique (on ne cherchera pas `a l’expliciter.) [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.