Probl`emes de Math´ematiques L’´equation du troisi`eme degr´e. ´Enonc´e L’´equation du troisi`eme degr´e. Le but du probl`eme est la r´esolution de l’´equation : (E1) : ax3 + bx2 + cx + d = 0, (a, b, c, d) ∈ C4, a ̸= 0 1. (a) Montrer qu’il existe h dans C tel que le changement de variable y = x+h transforme l’´equation (E1) en une ´equation (E2) : y3 + py + q = 0, (p, q) ∈ C2. [ S ] (b) Que dire si p = q = 0 ? Dans la suite, on supposera (p, q) ̸= (0, 0). [ S ] 2. On note t′ une solution non nulle dans C de l’´equation (E3) : t2 + qt − p3 27 = 0. Soit α une racine cubique de t′. On pose y0 = α − p 3α, y1 = jα − p 3αj2, y2 = j2α − p 3αj. (a) Prouver y0 + y1 + y2 = 0, y2 0 + y2 1 + y2 2 = −2p, et y0y1 + y0y2 + y1y2 = p. [ S ] (b) Montrer que y0y1y2 = −q. [ S ] (c) En d´eduire que y0, y1, y2 sont les solutions de (E2) dans C. [ S ] (d) Donner alors l’expression des solutions x0, x1, x2 de (E1) dans C. [ S ] 3. On se place dans le cas particulier q2 + 4p3 27 = 0. Que dire de l’´equation (E3) ? Montrer qu’on peut choisir α tel que α2 = −p 3. Quelles solutions obtient-on alors pour l’´equation (E1) ? [ S ] 4. Dans cette question, on suppose que a, b, c, d sont r´eels. On pose ∆ = 4p3 + 27q2. (a) Si ∆> 0 montrer que (E1) a une racine r´eelle et deux racines complexes conjugu´ees. [ S ] (b) Si ∆ < 0, montrer que (E1) a trois racines r´eelles. [ S ] (c) Si ∆ = 0, montrer que (E1) a une racine r´eelle simple et une racine r´eelle double. [ S ] 5. On suppose que a, b, c, d sont r´eels, avec ∆ = 4p3 + 27q2 < 0. Montrer que α = r(cos θ + i sin θ), avec r = � −p 3 et cos 3θ = 3q 2p � −3 p. Si ϕ est tel que cos ϕ = cos 3θ, donner les solutions de (E1) en fonction de ϕ, p, a, b. [ S ] 6. (a) Trouver les solutions de 8x3 − 12x2 − 18x + 19 = 0 `a 10−3 pr`es. [ S ] (b) R´esoudre 8x3 + 12x2 − 18x + 5 = 0. [ S ] (c) R´esoudre x3 + 6x2 + 10x + 8 = 0. [ S ] 7. On suppose que p et q sont des nombres r´eels. En ´etudiant l’application f : y �→ y3+py+q, retrouver les r´esultats de la question (4), c’est- `a-dire la nature des solutions de l’´equation (E2) en fonction du signe de ∆ = 4p3 + 27q2 (en revanche, on ne cherchera pas ici `a retrouver l’expression de ces solutions.) [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.