Probl`emes de Math´ematiques Calcul de cos π 5 et cos π 17 `a l’aide de radicaux ´Enonc´e Calcul de cos π 5 et cos π 17 `a l’aide de radicaux PREMI`ERE PARTIE 1. Donner les solutions de (E) : z5 − 1 = 0, sous forme trigonom´etrique. 2. Soit Q le polynˆome tel que z5 − 1 = (z − 1)Q(z). Avec le changement de variable ω = z + 1 z, exprimer les racines de Q avec des radicaux. 3. En d´eduire cos 2π 5 , cos 4π 5 , cos π 5 , sin 2π 5 , sin 4π 5 et sin π 5 `a l’aide de radicaux. DEUXI`EME PARTIE Dans toute la suite du probl`eme, on pose θ = π 17. Tous les calculs demand´es doivent ˆetre effectu´es de mani`ere exacte (autrement dit les r´eponses qui utiliseraient des valeurs approch´ees fournies par la calculatrice ne sont pas accept´ees). 1. Montrer que : ∀ a ∈ IR, ∀ h ∈]0, 2π[, ∀ n ∈ IN∗ : n−1 � k=0 cos(a + kh) = sin(nh 2 ) cos(a + (n − 1)h 2) sin(h 2) 2. On pose � x1 = cos 3θ + cos 5θ + cos 7θ + cos 11θ x2 = cos θ + cos 9θ + cos 13θ + cos 15θ (a) Montrer que x1 > 0. (b) Montrer que x1 + x2 = 1 2. (c) On se propose de calculer la valeur de x1x2. i. D´evelopper l’expression x1x2, puis lin´eariser les produits obtenus. ii. En d´eduire que x1x2 = −2(x1 + x2) = −1. (d) Donner une expression de x1 et de x2 `a l’aide de radicaux. 3. On pose � y1 = cos 3θ + cos 5θ, y2 = cos 7θ + cos 11θ y3 = cos θ + cos 13θ, y4 = cos 9θ + cos 15θ (a) En s’inspirant de la m´ethode pr´ec´edente, calculer les produits y1y2 et y3y4. (b) En d´eduire des expressions de y1, y2, y3 et de y4 `a l’aide de radicaux. 4. Donner finalement une expression de cos π 17 `a l’aide de radicaux. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.