Probl`emes de Math´ematiques Entiers de Gauss ´Enonc´e Entiers de Gauss – On note ZZi = {a + ib, a ∈ ZZ, b ∈ ZZ}. Les ´el´ements de ZZi sont appel´es entiers de Gauss. Dans suite, quand on dira soit z = a + ib dans ZZi, il sera sous-entendu que a, b sont dans ZZ. – Pour tout ´el´ement z = a + ib de ZZi, on note ϕ(z) = zz = ;;;z;;;2 = a2 + b2. Bien sˆur ϕ(z) est dans IN et pour tous z, z′ de ZZi on a ϕ(zz′) = ϕ(z)ϕ(z′). – On note ZZ+ i l’ensemble des z = a + ib de ZZi tels que a ≥ 1 et b ≥ 0. Partie I. Divisibilit´e dans l’anneau ZZi. 1. Montrer que (ZZi, +, ×) est anneau. Que dire de ZZ relativement `a ZZi ? [ S ] 2. Montrer que les seuls ´el´ements inversibles de l’anneau ZZi sont 1, i, −1, −i. Dans toute la suite, on notera U = {1, i, −1, −i}. [ S ] 3. On dit que z divise z′ dans ZZi s’il existe q dans ZZi tel que z′ = qz. On note alors z ∥ z′ (on d´efinit ainsi une relation r´eflexive et transitive sur ZZi.) Remarque : on note toujours m ;;; n la relation divisibilit´e dans ZZ. (a) Soient z, z′ deux ´el´ements de ZZ, donc de ZZi. Montrer que z ;;; z′ ⇔ z ∥ z′. Autrement dit la relation de divisibilit´e dans ZZi “prolonge” celle de ZZ. [ S ] (b) Soient z et z′ dans ZZi. Montrer que (z ∥ z′ et z′ ∥ z) ⇔ ∃ u ∈ U, z′ = uz. On exprimera cette situation en disant que z et z′ sont associ´es dans ZZi. Dans toute la suite on notera z ∼ z′ pour exprimer que z et z′ sont associ´es. [ S ] (c) Montrer que la relation ∼ est une relation d’´equivalence sur ZZi. On notera �z la classe d’´equivalence d’un ´el´ement z de ZZi. Quel est le cardinal de �z ? Que repr´esente g´eom´etriquement �z ? [ S ] (d) Soit z ̸= 0 dans ZZi. Montrer que ZZ+ i contient un unique ´el´ement de �z. Dans la suite du probl`eme, cet ´el´ement sera not´e z+. [ S ] 4. Dans cette question, z et z′ sont deux ´el´ements quelconques de ZZi. On note Di(z) = {ω ∈ ZZi, ω ∥ z} l’ensemble des diviseurs de z dans ZZi. On note zZZi = {zω, ω ∈ ZZi} l’ensemble des multiples de z dans ZZi. (a) Montrer que zZZi ⊂ z′ZZi ⇔ z′ ∥ z ⇔ Di(z′) ⊂ Di(z). En d´eduire zZZi = z′ZZi ⇔ z′ ∼ z ⇔ Di(z) = Di(z′). [ S ] (b) Montrer que z divise ϕ(z) dans ZZi. [ S ] (c) Montrer que � z′ ∥ z ⇒ ϕ(z′) ;;; ϕ(z) z′ ∼ z ⇒ ϕ(z′) = ϕ(z) et que les r´eciproques sont fausses. [ S ] (d) Montrer que si z′ ∥ z et ϕ(z) = ϕ(z′), alors z′ ∼ z. [ S ] (e) D´eterminer Di(4 + 7i) ∩ ZZ+ i , puis Di(4 + 7i). [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.