Exercices de Math´ematiques Op´erations ´el´ementaires, rang d’une matrice (III) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] D´eterminer le rang de la matrice A d´efinie par A = � � � � � a 0 0 b b a 0 0 0 b a 0 0 0 b a � � � � �, o`u (a, b) ∈ C2. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Pr´eciser si A = � � � � � 1 1 1 1 1 1 + a 1 1 1 1 1 + b 1 1 1 1 1 + c � � � � � est inversible, et calculer dans ce cas son inverse. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient ϕ1, ϕ2, ϕ3 les formes lin´eaires d´efinies sur K3 par, pour tout u = (x, y, z) : ϕ1(u) = x + 2y + 3z, ϕ2(u) = 2x + 5y + 4z, ϕ3(u) = x + 3y + 2z. 1. Montrer que (ϕ1, ϕ2, ϕ3) est une base de (K3)∗. 2. Trouver la base duale (u1, u2, u3). Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Sur E = R3[X] on d´efinit les applications fj : P → � 1 0 tjP(t) dt. 1. Montrer que la famille (ε∗) = f0, f1, f2, f3 est une base de E∗. 2. D´eterminer de quelle base (ε) de E c’est la base duale. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] On consid`ere la matrice A d´efinie par A = � � � � 1 0 2 4 1 1 −1 1 −1 1 3 1 1 2 1 3 � � � � Soit f l’endomorphisme de K4, de matrice A dans la base canonique. 1. Donner une base du noyau de f. Quel est le rang de f ? 2. Donner une ´equation cart´esienne de l’image de f. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.