Exercices de Math´ematiques Trace d’une matrice ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Pour A, carr´ee d’ordre n et de terme g´en´eral aij, on pose tr A = n� j=1 ajj (trace de A). Montrer que pour des matrices A de Mnp(K) et B de Mpn(K), on a tr (AB) = tr (BA). Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que l’´egalit´e AB − BA = I est impossible dans Mn(K). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient A et B deux matrices de Mn(K). On suppose que pour tout M de Mn(K), on a tr (AM) = tr (BM). Montrer que les matrices A et B sont ´egales. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit f une forme lin´eaire sur Mn(K). Montrer qu’il existe une matrice unique A de Mn(K) telle que, pour toute matrice X de Mn(K), f(X) = tr (AX). Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit E le sous-espace vectoriel de Mn(K) form´e des matrices antisym´etriques. Soit A une matrice fix´ee dans Mn(K). 1. Rappeler quelle est la dimension de E et en donner une base simple. 2. On d´efinit l’application f sur E par f(M) = TA M + MA. Montrer que f est un endomorphisme de E. Calculer tr f en fonction de tr A. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.