Exercices de Math´ematiques Puissances n-i`emes de matrices ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient a, b, c trois r´eels tels que a2 + b2 + c2 = 1. Soit M = � � � a2 − 1 ab ac ab b2 − 1 bc ac bc c2 − 1 � � �. Pour tout entier n ≥ 1, calculer M n. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Calculer A100, avec A = � 5 −4 4 −3 � . Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Calculer An, avec A = � � � 0 1 − sin θ −1 0 cos θ − sin θ cos θ 0 � � �. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit A = � ch x sh x sh x ch x � . Calculer An. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] On consid`ere la matrice carr´ee M d´efinie par M = � � � 2 −2 1 2 −3 2 −1 2 0 � � �. 1. V´erifier que (M − I)(M + 3I) = 0. En d´eduire M n, pour tout n de N. 2. V´erifier que l’expression obtenue pour M n est encore valable si n < 0. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soit A une matrice carr´ee. On suppose qu’il existe deux matrices U, V telles que An = λn(U + nV ) pour n = 1, 2, 3. Montrer que l’´egalit´e An = λn(U + nV ) est vraie pour tout n de N∗. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.