Exercices de Math´ematiques Matrice et rang d’un endomorphisme ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit f ∈ L(R4), dont la matrice est A = � � � � � 2 1 3 −1 3 −1 2 0 1 3 4 −2 4 −3 1 1 � � � � � dans la base canonique. 1. Calculer le rang de f. Former un syst`eme d’´equations de Im f. Donner une base de Im f. 2. Former un syst`eme d’´equations du noyau de f. Donner une base de Ker f. 3. D´eterminer l’image et l’image r´eciproque du sous-espace d’´equation x − y + z − 2t = 0. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] 1. Soit X une matrice-colonne `a coefficients r´eels. Montrer qu’on a l’´equivalence : TXX = 0 ⇐⇒ X = 0. 2. Soit A une matrice carr´ee d’ordre n `a coefficients r´eels. Montrer que les matrices A, TAA et A TA ont le mˆeme rang. 3. Montrer que cela cesse d’ˆetre vrai si on consid`ere des matrices `a coefficients complexes. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit n un entier strictement positif. Pour tout entier r de {0, . . . , n}, on note Jn(r) la matrice de Mn(K) dont le coefficient d’indice (i, j) est 1 si 1 ≤ i = j ≤ r et 0 dans tous les autres cas. En particulier, Jn(0) est la matrice nulle et Jn(n) est la matrice identit´e. Soit A une matrice de Mn(K). 1. Montrer que rang A = r ⇔ ∃P, Q inversibles telles que Q−1AP = Jr. 2. En d´eduire que les matrices A et TA ont le mˆeme rang. 3. Montrer que A peut s’´ecrire comme une somme de deux matrices inversibles. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient A et B deux matrices de Mn(K). On suppose que la matrice AB est nulle et que A + B est inversible. Montrer que rang A + rang B = n. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.