Exercices de Math´ematiques Calcul matriciel ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Trouver toutes les matrices A de M2(R) telles que A2 = A. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Trouver toutes les matrices B de M2(R) qui v´erifient B2 = I. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit Eij ∈ Mn(K) dont tous les coefficients sont nuls, sauf celui en position (i, j) qui vaut 1. Pour tous indices i, j, k, l de {1, . . . , n}, calculer EijEkl. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Quelles sont les matrices qui commutent avec J = � � � � � 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 � � � � � ? Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit n un entier strictement positif. Soit A une matrice de Mn(K). 1. Montrer que M commute avec toutes les matrices de Mn(K) ⇔ M est de la forme λIn, o`u λ est un scalaire quelconque. 2. Montrer que M commute avec toutes les matrices inversibles de Mn(K) ⇔ M est de la forme λIn, o`u λ est un scalaire quelconque. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] On pose ω = exp 2iπ n , o`u n est un entier positif. Soient A, B dans Mn(C), de termes g´en´eraux aij = ω(i−1)(j−1) et bij = ω−(i−1)(j−1). Calculer les produits A2, B2, AB et BA. Calculer A−1. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.