Exercices de Math´ematiques Familles de matrices ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient a, b deux r´eels, et E l’ensemble des matrices M(λ, µ) = � λ µ −µb λ + µa � , (λ, µ ∈ R). Montrer que E est une sous-alg`ebre commutative de M2(R). A quelle condition sur a, b est-ce un corps ? Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Pour tout r´eel t, on d´efinit la matrice A(t) par A(t) = � � � � 1 + t2 2 −t2 2 t t2 2 1 − t2 2 t t −t 1 � � � � 1. Calculer A(s)A(t). 2. Calculer (A(t) − I)3. 3. Trouver (αn), (βn), (γn) telles que : ∀ n ∈ N, A(t)n = αn A(t)2 + βn A(t) + γn I. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit E = � � �M(a, b, c) = � � � a b c 3c a − 3c b 3b −3b + 3c a − 3c � � �, avec a, b, c r´eels � � �. Montrer que E est une sous-alg`ebre de M3(R). En donner la dimension et une base. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit D l’ensemble des A = (aij) de Mn(R) qui v´erifient le syst`eme � � � ∀(i, j), aij ≥ 0 ∀i, n� j=1 aij = 1 1. Montrer que D est stable pour le produit des matrices. 2. D´eterminer les matrices A de D, inversibles et telles que A−1 ∈ D. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que l’ensemble E des M(x, y) = � x + y 4y −y x − y � est une sous-alg`ebre de M2(R). En donner une base et la dimension. Est-ce un corps ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.