1 Produits scalaires ESPACES PREHILBERTIENS Ce texte est mis à disposition mais il doit être lu attentivement et avec un esprit critique car il peut comporter beaucoup d’erreurs et de toute façon sera remanié durant la période de cours. On travaille sur des C-espaces vectoriels pas forcément de dimension …nie. Le cas réel se déduit aisément en général du cas complexe et les résultats se simpli…ent. Le domaine d’applications et d’utilisations est immense tant sur le plan mathématique que sur le plan des autres sciences de l’ingénieur. D’abord c’est dans ce cadre que l’on peut développer l’analyse vectorielle et les opérateurs di¤érentiels tels le gradient, la divergence, le rotationnel et le laplacien comme on peut le voir à la …n de ce chapitre et qui sont largement utilisés dans le cours de Physique. C’est aussi dans ce cadre que l’on peut développer les séries de Fourier, la transformation de Fourier des fonctions et à un niveau plus élevé la théorie des ondelettes qui sont trés utilisées en physique et en électronique et théorie du signal ect...L’espace préhibertien est l’espace du physicien et c’est bien rare qu’une théorie physique se déploie dans son formalisme mathématiques dans un autre espace. 1 Produits scalaires Les deux sections qui suivent peuvent être laissées de côté en premiére lecture et d’ailleurs tout ce qui a trait aux liens entre R�espace et C�espace pour un C�espace . 1.1 Espace vectoriel complexe et espace vectoriel sous-jacent Il est parfois bien pratique de remarquer qu’un espace vectoriel E sur C peut être considéré comme un espace vectoriel sur R: On note cet espace vectoriel ER dit sous-jacent à E: Pour comprendre cette idée, répondez aux questions suivantes : Exercice 1 Un sous-espace de E est-il un sous-espace de ER? Un sous-espace de ER est-il un sous-espace de E ? Exercice 2 Caractériser les sous-espaces de E parmi les sous-espaces de ER: Exercice 3 Comparer les dimensions de E et de ER: 1.2 Application semi-linéaire Soit E et F deux C�espaces vectoriels et u une application de E dans F; on dit que u est semi-linéaire, ssi, pour tout x; y appartenant à E et � appartenant à C; on a: u (x + �y) = u(x) + �u(y): Exercice 4 Donner des exemples d’applications semi-linéaires. Exercice 5 Montrer que u est semi-linéaire, ssi, elle est linéaire de ER dans FR et véri…e pour x 2 E : u(ix) = �iu(x): 1