Exercices de Math´ematiques Op´erations ´el´ementaires, rang d’une matrice (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Calculer le rang de la matrice A d´efinie par A = � � � � � 1 22 . . . n2 22 32 . . . (n + 1)2 . . . . . . . . . . . . n2 (n + 1)2 . . . (2n)2 � � � � � Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Calculer le rang de la matrice A d´efinie par A = � � � � � 75 0 116 39 0 171 −69 402 123 45 301 0 87 −417 −169 114 −46 268 82 30 � � � � �. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Calculer le rang de la matrice A d´efinie par A = � � � � � � � � 1 −2 3 −1 −1 −2 2 −1 1 0 −2 −2 −2 −5 8 −4 3 −1 6 0 −1 2 −7 −5 −1 −1 1 −1 2 1 � � � � � � � � . Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Dans R4, on pose ε1 = (1, 1, 1, 0), ε2 = (2, 1, 1, 1), ε3 = (1, 0, 1, 2) et ε4 = (1, −1, −1, 1). Montrer que ε1, ε2, ε3, ε4 forment une base de R4. Calculer les coordonn´ees du vecteur v = (1, 2, 3, 4) dans cette base. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] On pose � u1 = (1, −1, 2, 3, 4) u2 = (2, 1, −1, 2, 0) u3 = (−1, 2, 1, 1, 3) u4 = (1, 5, −8, −5, −12) u5 = (3, −7, 8, 9, 13) D´eterminer le rang de la famille u1, u2, u3, u4, u5 et former un syst`eme d’´equations du sous- espace de R5 qu’ils engendrent. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.