Exercices de Math´ematiques Matrices inversibles ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Donner une base de M2(R) qui soit form´ee de matrices inversibles. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Calculer l’inverse de la matrice carr´ee A d´efinie par A = � � � � � 1 −a 0 0 0 1 −a 0 0 0 1 −a 0 0 0 1 � � � � �. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Pr´eciser si la matrice carr´ee A d´efinie par A = � � � � � � a b . . . b b ... ... : : ... ... b b . . . b a � � � � � � de Mn(K) est inversible. Si elle est inversible, calculer A−1. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Calculer l’inverse de la matrice carr´ee A d´efinie par A = � � � � � � � � � � 1 2 ... n − 1 n 0 1 2 ... n − 1 : ... ... ... ... : 0 ... 1 2 0 . . . . . . 0 1 � � � � � � � � � � Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit H un hyperplan de Mn(K). Montrer que H contient au moins une matrice inversible. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] On consid`ere la matrice carr´ee A d´efinie par A = � � � � � 1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 −1 � � � � �. Calculer A2 et A3. Montrer que A est inversible et calculer A−1. Exercice 7 [ Indication ] [ Correction ] (Th´eor`eme de Hadamard) Soit A une matrice carr´ee d’ordre n `a coefficients dans K de terme g´en´eral aij. On dit que A est `a diagonale strictement dominante si, pour tout j, ;;;ajj;;; > � i̸=j ;;;aij;;;. Montrer que dans ce cas la matrice A est inversible. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.