Exercices de Math´ematiques Application lin´eaire et changement de base ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] D´eterminer relativement aux bases canoniques la matrice A de l’application lin´eaire f de R2 vers R3 d´efinie par f(1, −1) = (−1, −2, 5) et f(2, −3) = (0, 5, 4). Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit f un morphisme de E muni de la base (e) = (e1, e2, e3), vers F muni de (ε) = (ε1, ε2). Soit A = � 2 −1 1 3 2 −3 � la matrice de f dans les bases (e) et (ε). 1. D´eterminer la matrice B de f quand on remplace la base (e) par la base (e′) d´efinie par e′ 1 = e2 + e3, e′ 2 = e3 + e1, e′ 3 = e1 + e2. 2. On garde (e′) mais on remplace (ε) par (ε′) : ε′ 1 = 2ε1 + ε2 et ε′ 2 = 5ε1 + 3ε2. D´eterminer la matrice C de f dans les bases (e′) et (ε′). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit f un endomorphisme de E (dim E = n ≥ 1). On suppose que f n = 0 et f n−1 ̸= 0. Montrer qu’il existe une base de E o`u la matrice de f est A = � � � � � � � � 0 1 0 . . . 0 0 0 1 ... : : ... ... ... 0 : . . . . . . 0 1 0 . . . . . . 0 0 � � � � � � � � Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit f ∈ L(R4) dont la matrice est A = � � � � � 0 1 5 9 2 1 6 8 0 0 0 3 0 0 1 −2 � � � � � dans la base canonique. On pose que ε1 = (−13, −37, 3, 1), ε2 = (1, −1, 0, 0), ε3 = (1, 2, 0, 0), et ε4 = (−7, 1, −5, 5). Montrer que ε1, ε2, ε3, ε4 forment une base de R4. Montrer que la matrice de f dans la base (ε) est diagonale. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit f ∈ L(R4), dont la matrice dans la base canonique est A = � � � � � −1 −4 −2 −2 −4 −1 −2 −2 2 2 1 4 2 2 4 1 � � � � � . Montrer qu’il existe une base de R4 dans laquelle la matrice de f est diagonale. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.