Exercices de Math´ematiques Matrice d’une application lin´eaire (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Caract´eriser f ∈ L(R3) de matrice A = 1 3 � � � 2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 2 � � � dans la base canonique de R3. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Dans R3, soient (Π) le plan d’´equation x + 2y + 3z = 0 et (D) la droite � x = 3z y = 2z D´eterminer la matrice A de la projection sur (Π) parall`element `a (D). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Calculer l’inverse et les puissances de la matrice A = � � � � � � � � 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 0 0 1 3 6 0 0 0 1 4 0 0 0 0 1 � � � � � � � � . Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] On se donne (α, β, γ) ̸= −→0 dans R3. Soit f ∈ L(R3), dont la matrice est A = � � � α2 αβ αγ αβ β2 βγ αγ βγ γ2 � � � dans la base canonique. Trouver le rang de f, son image, son noyau. Calculer An pour tout n de N∗. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soient E et F deux espaces vectoriels de dimensions respectives n et p. Soit f une application lin´eaire de E vers F, de rang r. On d´efinit G = {g ∈ L(F, E), f ◦ g ◦ f = 0}. Montrer que G est un sous-espace vectoriel de L(F, E) et en donner la dimension. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Soient (e), (ε) deux bases de E (dim E = n), et (e∗), (ε∗) leurs bases duales. Soit P la matrice de passage de (e) `a (ε) et P ∗ celle de (e∗) `a (ε∗). Exprimer P en fonction de P ∗. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.