Cours de Math´ematiques Calcul matriciel, syst`emes lin´eaires Sommaire Calcul matriciel, syst`emes lin´eaires Sommaire I Matrices `a coefficients dans K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.1 G´en´eralit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.2 Matrices particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Matrices carr´ees particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II Op´erations sur les matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.1 L’espace vectoriel des matrices de type (p,k) . . . . . . . . . . . . . . 5 II.2 Produit des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II.3 L’alg`ebre des matrices de type (n,n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.4 Calcul des puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.5 Cas des matrices triangulaires ou diagonales . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.6 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 II.7 Matrices sym´etriques ou antisym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 III Matrice d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.1 Matrice d’une famille de vecteurs dans une base . . . . . . . . . . . . 11 III.2 Matrice d’une application lin´eaire dans un couple de bases . . . . . . . 11 III.3 Propri´et´es op´eratoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 IV Changements de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 IV.1 Matrices de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 IV.2 Changements de matrice pour une application lin´eaire . . . . . . . . . 15 IV.3 Matrices ´equivalentes et matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . 16 V Trace d’une matrice, d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . 18 V.1 Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 V.2 Trace d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 VI Op´erations ´el´ementaires, calcul du rang . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VI.1 Rang d’une fammille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VI.2 Rang d’une application lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VI.3 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 VI.4 Matrices ´echelonn´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 VI.5 Op´erations ´el´ementaires sur les lignes ou les colonnes . . . . . . . . . . 22 VI.6 Calcul du rang par la m´ethode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 VI.7 Calcul de l’inverse par la m´ethode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . 24 VII Syst`emes d’´equations lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 VII.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 VII.2 Interpr´etations d’un syst`eme lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 VII.3 Structure de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.