Probl`emes de Math´ematiques Suites arithm´etico-g´eom´etriques de matrices ´Enonc´e Suites arithm´etico-g´eom´etriques de matrices On pose 0 = � � � 0 0 0 0 0 0 0 0 0 � � �, I = � � � 1 0 0 0 1 0 0 0 1 � � �, M = � � � 2 −1 −1 1 −2 1 −3 3 0 � � �, A = � � � 2 −1 −1 0 0 0 −2 1 1 � � � et B = � � � 0 0 0 −1 2 −1 1 −2 1 � � �. On d´efinit une suite (Xn)n≥0 de M3(R) par X0 = 0 et, ∀ n ∈ N∗, Xn = n−1 � k=0 M k. 1. Calculer AB, BA, A2, et B2. En d´eduire Ak, Bk, et M k pour tout k ≥ 1. [ S ] 2. Pour tout n ≥ 1, exprimer Xn en fonction de I, A, B. [ S ] 3. (a) On pose Y = I − M. Montrer que Y est inversible et calculer Y −1. [ S ] (b) Prouver que pour tout n ≥ 0, on a Xn = Y −1(I − M n). [ S ] 4. Soit α un r´eel distinct de 1, et soit λ un r´eel non nul. On d´efinit une suite (yn)n≥0 par la donn´ee de y0 dans R et par : ∀ n ≥ 1, yn = αyn−1 + λn2. (a) Montrer qu’il existe une suite du type n �→ Pn = a+bn+cn2 telle que pour tout n ≥ 1 on ait l’´egalit´e Pn = αPn−1 + λn2 (on calculera a, b, c en fonction de α et λ.) [ S ] (b) Pour tout n de N, on pose xn = yn − Pn. Calculer xn puis yn en fonction de n, α, λ, y0. [ S ] 5. On d´efinit la suite (Sn) de M31(R) par ∀ n ∈ N∗, Sn = MSn−1 + N o`u S0 = � � � −1 −4 −1 � � � et N = � � � 3 −5 −4 � � �. Montrer que Sn = M nS0 + XnN pour tout n de N. En d´eduire Sn. [ S ] 6. On d´efinit la suite (Sn) de M31(R) par ∀ n ≥ 1, Sn = MSn−1 + Nn o`u S0 = � � � 2 1 −3 � � � et Nn = � � � 2m2 m2 −2m2 � � �. Pour tout n ≥ 0, on pose Sn = � � � αn βn γn � � � et � � � un = αn + βn + γn vn = 2αn − βn − γn wn = αn − 2βn + γn (a) Montrer que pour tout n de N, on a un = n2. [ S ] (b) ´Etablir une relation de r´ecurrence entre vn et vn−1. En d´eduire l’expression de vn en fonction de n. [ S ] (c) ´Etablir une relation de r´ecurrence entre wn et wn−1. En d´eduire l’expression de wn en fonction de n. [ S ] (d) En d´eduire finalement l’expression de Sn pour tout n de N. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c ⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.