Probl`emes de Math´ematiques Une famille de matrices orthogonales ´Enonc´e Une famille de matrices orthogonales L’espace vectoriel IR3 est rapport´e `a la base canonique (e1, e2, e3). On donne quatre r´eels a, b, c, k tels que a2 + b2 + c2 = 1 et k ̸= 0. On d´esigne par I la matrice identit´e d’ordre 3 . Soit f le morphisme de IR3 dont la matrice dans la base canonique est T = � � 0 c −b −c 0 a b −a 0 � �. PREMIERE PARTIE 1. Calculer T 2. Exprimer T 3 en fonction de T. [ S ] 2. Trouver le rang de f et d´eterminer son noyau. [ S ] 3. Montrer que la matrice Bk = kI + T est inversible. [ S ] 4. Montrer qu’il existe trois r´eels u, v, w, d´ependants de k, tels que B−1 k = uI +vT +wT 2. [ S ] 5. En d´eduire que les matrices (kI + T)−1 et kI − T commutent. [ S ] DEUXIEME PARTIE On note gk l’endomorphisme de IR3 de matrice Ak = (kI +T)−1(kI −T) dans la base canonique. 1. Quels sont les vecteurs x de IR3 tels que gk(x) = x ? [ S ] 2. Montrer que Ak est inversible et que A−1 k = TAk = A −k. [ S ] 3. Montrer que I + Ak est inversible et que : T = k(I − Ak)(I + Ak)−1. [ S ] 4. Ecrire explicitement la matrice Ak en fonction de I, k, T, T 2. [ S ] 5. On pose k = tan(π 2 − θ 2), avec -π < θ < π. (a) On suppose d’abord a = 1 et b = c = 0. Identifier gk `a une transformation g´eom´etrique simple. [ S ] (b) On suppose (b, c) ̸= (0, 0). Montrer que les vecteurs u1 = (a, b, c), u2 = f(e1) et u3 = −f 2(e1) forment une base de IR3. [ S ] (c) Quelles sont les matrices �T et �Ak de f et de gk dans cette base ? [ S ] (d) Soient k1 et k2 deux r´eels non nuls tels que (k1 + k2)(1 − k1k2) ̸= 0. Montrer qu’il existe un r´eel non nul k tel que gk = gk1ogk2. Exprimer k en fonction de k1 et de k2. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.