Probl`emes de Math´ematiques Inversion d’une matrice et d´ecomposition LU ´Enonc´e Inversion d’une matrice et d´ecomposition LU 1. On pose u1 = 2 et ∀ n ≥ 1, un+1 = 2 − 1 un . Calculer un, pour tout n de IN∗. [ S ] 2. On d´efinit la matrice A = (aij) de Mn(IR) par : A = � � � � � � � � � 2 −1 0 . . . 0 −1 2 ... ... ... 0 ... ... ... 0 ... ... ... 2 −1 0 . . . 0 −1 2 � � � � � � � � � On d´efinit alors les matrices A1, A2, . . . , An par : – A1 = A. – Pour tout i de {1, . . . , n−1}, Ai+1 se d´eduit de Ai par l’op´eration : Li+1 ← Li+1+ 1 ui Li. D´eterminer An, et en d´eduire que A est inversible. [ S ] 3. On consid`ere le syst`eme AX = Y , d’inconnue X = � � � � � � x1 x2 ... xn � � � � � � , avec Y = � � � � � � y1 y2 ... yn � � � � � � . On d´efinit y′ 1, y′ 2, . . . , y′ n par : – y′ 1 = y1. – Pour tout i de {1, . . . , n − 1}, y′ i+1 = yi+1 + 1 ui y′ i. Pour tout i de {1, . . . , n}, montrer que AX = Y ⇔ AiX = Y ′ i , avec Y ′ i = � � � � � � � � � � � � y′ 1 ... y′ i yi+1 ... yn � � � � � � � � � � � � . [ S ] 4. Dans cette question la colonne Y est d´efinie par � yk = 1 yi = 0 si i ̸= k (a) Avec les notations pr´ec´edentes, calculer y′ i, pour tout i de {1, . . . , n}. [ S ] (b) D´eterminer alors la solution du syst`eme AX = Y . [ S ] 5. D´eduire de ce qui pr´ec`ede l’expression de la matrice A−1. [ S ] 6. On revient aux notations de la question 2. D´eterminer deux matrices L et U telles que A = LU, o`u : – L est une matrice triangulaire inf´erieure dont les coefficients diagonaux valent 1. – U est une matrice triangulaire sup´erieure. [ S ] 7. Calculer le d´eterminant ∆n de la matrice A : (a) En utilisant le r´esultat de la question pr´ec´edente. [ S ] (b) Par un calcul direct, utilisant une r´ecurrence sur l’ordre n de la matrice A. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.