Probl`emes de Math´ematiques ´Etude d’une famille de matrices ´Enonc´e ´Etude d’une famille de matrices M3(IR) d´esigne l’alg`ebre des matrices carr´ees d’ordre 3 `a coefficients r´eels. On note E le sous-ensemble de M3(IR) form´e des matrices M(a, b, c) = � � a b c b a + c b c b a � �, o`u a, b, c sont trois r´eels quelconques. On pose I = M(1, 0, 0), J = M(0, 1, 0) et K = M(0, 0, 1). PARTIE I 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de M3(IR). En donner la dimension et une base. 2. Calculer, en fonction de I, J, K les produits J2, K2, JK et KJ. 3. Montrer que E est muni d’une structure d’anneau commutatif. PARTIE II 1. Expimer det(M(a, b, c)) comme un produit de trois facteurs lin´eaires par rapport `a a, b, c. 2. A quelles conditions M(a, b, c) est-elle inversible dans M3(IR) ? Montrer alors, sans la calculer, que sa matrice inverse est dans E. 3. Montrer que le sous-ensemble de E form´e des matrices M(a, b, c) de rang inf´erieur ou ´egal `a 2 est la r´eunion de trois plans vectoriels P1, P2 et P3 dont on donnera une base (on notera P1 celui de ces plans qui est caract´eris´e par l’´egalit´e a = c). 4. Montrer que le sous-ensemble de E form´e des matrices M(a, b, c) de rang inf´erieur ou ´egal `a 1 est la r´eunion de trois droites vectorielles D1, D2 et D3, que l’on pr´ecisera. Montrer que ces droites sont les intersections deux `a deux des plans P1, P2 et P3. 5. On consid`ere toutes les matrices de P1 qui sont effectivement de rang 2. On leur associe un endomorphisme de IR3 (rapport´e `a sa base canonique). Montrer que tous ces endomorphismes ont le mˆeme espace image et le mˆeme espace noyau. PARTIE III Soient a et c deux r´eels. On pose N = aI + cK, A = 1 2(I + K) et B = 1 2(I − K) 1. (a) Calculer AB, BA, et pour tout entier n, An et Bn. (b) Montrer qu’il existe deux r´eels x et y tels que N = xA + yB. (c) En d´eduire, pour tout n de IN, l’expression de N n. 2. Soit f l’endomorphisme de IR3 dont la matrice est N dans la base canonique. (a) Montrer que ε1 = (1, 0, 1), ε2 = (0, 1, 0), ε3 = (1, 0, −1) forment une base de IR3. (b) D´eterminer la matrice N ′ de f dans cette base. (c) En d´eduire, pour tout n de IN, l’expression de N n. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.