Probl`emes de Math´ematiques D´ecomposition LU d’une matrice inversible ´Enonc´e D´ecomposition LU d’une matrice inversible Soit A une matrice de Mn(IK). Une d´ecomposition “LU” de A est une ´egalit´e A = LU, o`u L est une matrice triangulaire inf´erieure (L pour “Low”) `a diagonale unit´e (tous les coefficients diagonaux valent 1), et o`u U est une matrice triangulaire sup´erieure (U pour “Up”). Par exemple, A = � � � � 2 −3 1 −1 −2 2 −3 2 4 −9 −2 3 −2 5 5 −4 � � � � = � � � � 1 0 0 0 −1 1 0 0 2 3 1 0 −1 −2 1 1 � � � � � � � � 2 −3 1 −1 0 −1 −2 1 0 0 2 2 0 0 0 −5 � � � � Pour tout entier k de {1, . . . , n}, on appelle sous-matrice principale d’ordre k de A, la sous matrice Ak form´ee `a l’intersection des k premi`eres lignes et des k premi`eres colonnes de A. Par exemple, avec la matrice A de l’exemple pr´ec´edent : A1 = ( 2 ) , A2 = � 2 −3 −2 2 � , A3 = � � 2 −3 1 −2 2 −3 4 −9 −2 � � , A4 = � � � � 2 −3 1 −1 −2 2 −3 2 4 −9 −2 3 −2 5 5 −4 � � � � Dans tout le probl`eme, la matrice A est suppos´ee inversible. Partie I Dans cette partie, on voit une condition n´ecessaire et suffisante portant sur la matrice A pour qu’elle admette une d´ecomposition LU. 1. Montrer que la d´ecomposition LU de A, si elle existe, est unique. [ S ] 2. Montrer que la matrice A = � 1 2 0 3 � poss`ede une d´ecomposition LU. Montrer en revanche que la matrice B = � 0 3 1 2 � n’en poss`ede pas. [ S ] 3. On suppose que la matrice A poss`ede une d´ecomposition LU. Montrer que toutes ses sous-matrices principales sont inversibles. Pour cela, on utilisera une d´ecomposition par blocs de A, L, U, sous la forme suivante : A = � Ak A′ k A′′ k A′′′ k � , L = � Lk 0 L′′ k L′′′ k � , U = � Uk U ′ k 0 U ′′′ k � [ S ] 4. Montrer que la r´eciproque de la propri´et´e pr´ec´edente est vraie : si toutes les sous-matrices principales de A sont inversibles, alors A poss`ede une d´ecomposition LU. Pour cela, on raisonnera par r´ecurrence sur l’ordre n de A : dans le passage du rang n au rang n+1, on ´ecrira Ln+1 = � Ln 0 Rn 1 � et Un+1 = � Un Cn 0 λn � o`u Rn est une matrice-ligne de largeur n, Cn est une matrice-colonne de hauteur n, et λn est un scalaire. [ S ] 5. Conclusion ? [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.