Probl`emes de Math´ematiques Triplets rectangulaires ´Enonc´e Triplets rectangulaires – On note M3(R) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre 3 `a coefficients r´eels. On note M3(Z) l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre 3 `a coefficients dans Z. – On d´efinit les matrices suivantes : A = � � � 2 1 2 1 2 2 2 2 3 � � � B = � � � 2 −1 2 1 −2 2 2 −2 3 � � � C = � � � −2 1 2 −1 2 2 −2 2 3 � � � I = � � � 1 0 0 0 1 0 0 0 1 � � � J = � � � −1 0 0 0 1 0 0 0 1 � � � K = � � � 1 0 0 0 −1 0 0 0 1 � � � L = � � � 1 0 0 0 1 0 0 0 −1 � � � – On appelle triplet rectangulaire tout triplet (x, y, z) d’entiers naturels premiers entre eux dans leur ensemble tels que x2 + y2 = z2. On note T l’ensemble de ces triplets. Premi`ere partie 1. Calculer les inverses des matrices A, B, et C. [ S ] 2. D´eterminer les Q de M3(R) telles que ∀ (x, y, z) ∈ R3, x2 + y2 − z2 = ( x y z ) Q � � x y z � �. On notera en particulier que L est la seule de ces matrices qui soit sym´etrique. [ S ] 3. Prouver que G = {M ∈ M3(R), tMLM = L} est un groupe multiplicatif. [ S ] 4. Montrer que les matrices de M de G sont caract´eris´ees par la condition suivante : Pour tout (x, y, z) de R3, si � � x′ y′ z′ � � = M � � x y z � �, alors x′2 + y′2 − z′2 = x2 + y2 − z2. [ S ] 5. Montrer que H = G ∩ M3(Z) est un sous-groupe de G. [ S ] 6. V´erifier que les six matrices A, B, C, J, K, L sont ´el´ements de H. [ S ] Deuxi`eme partie Dans cette partie, on ´etudie des matrices particuli`eres de H. On note Rk = � � � 1 − 2k2 −2k 2k2 2k 1 −2k −2k2 −2k 1 + 2k2 � � �, Sk = � � � 1 − 2k2 2k 2k2 2k −1 −2k −2k2 2k 1 + 2k2 � � �, et � R = {Rk, k ∈ Z} S = {Sk, k ∈ Z} 1. Pour tout k de Z, v´erifier que les matrices Rk et Sk sont des ´el´ements de H. [ S ] 2. Montrer que R est un sous-groupe commutatif de H. Pr´eciser Rm k pour (k, m) dans Z2. [ S ] 3. Pour tout k de Z, montrer que la matrice Rk − I est nilpotente. [ S ] 4. D´eterminer trois suites (an), (bn), (cn) ind´ependantes de k, telle que, pour tout entier naturel n et tout k de Z, on ait l’´egalit´e : Rn k = anR2 k + bnRk + cnI. [ S ] 5. Montrer que R ∪ S est un sous-groupe de H. [ S ] 6. Pour tout k de Z. Soit ϕk l’endormorphisme de R3 de matrice Sk dans la base canonique. Identifier l’application ϕk et pr´eciser ses ´el´ements caract´eristiques. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.