Exercices de Math´ematiques Espaces pr´ehilbertiens (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace pr´ehilbertien sur K. Soient u, v deux vecteurs de E. On suppose que, pour tout λ de K, ∥u + λv∥ ≥ ∥u∥. Montrer que u et v sont orthogonaux. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace pr´ehilbertien sur C. Soit f ∈ L(E). Montrer que f = 0 ⇔ ∀x ∈ E, < f(x), x > = 0. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Dans l’espace E pr´ehilbertien r´eel, soit f une application telle que f(0) = 0 et (1) : ∀x, y ∈ E, ∥f(x) − f(y)∥ = ∥x − y∥ . 1. Montrer que f conserve le produit scalaire. 2. En d´eduire que f est lin´eaire. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace pr´ehilbertien sur C. Montrer que ∀(u, v) ∈ E2, < u, v >= 1 2 � ∥u + v∥2 + i ∥u + iv∥2 − (1 + i) ∥u∥2 + ∥v∥2� . Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace pr´ehilbertien, et soit f une application de E dans E telle que, pour tous vecteurs x et y : < f(x), y >=< x, f(y) >. Montrer que f est lin´eaire. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.