Exercices de Math´ematiques Espaces pr´ehilbertiens (II) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace pr´ehilbertien r´eel. Montrer que pour tous x, y de E, 2 + ∥x + y∥2 ≤ 2(1 + ∥x∥2)(1 + ∥y∥2). Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Calculer la valeur minimum de Ia,b = � 1 0 (t ln t − at − b)2 dt et dire pour quelles valeurs de a et b ce minimum est atteint. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace pr´ehilbertien sur R. On suppose qu’il existe n vecteurs unitaires e1, e2, . . . , en tels que, pour tout vecteur x de E, on ait ∥x∥2 = n � k=1 < ek, x >2. 1. Montrer que les vecteurs ek sont orthogonaux deux `a deux. 2. Montrer que ces vecteurs forment une base orthonorm´ee de E. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] On munit E = R[X] du produit scalaire < P, Q >= � 1 0 P(t)Q(t) dt. Soit ϕ la forme lin´eaire sur E d´efinie par ϕ(P) = P(0). Montrer qu’il n’existe pas de vecteur A de E tel que, pour tout P de E, ϕ(P) = < A, P >. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace pr´ehilbertien sur R. Soit p un projecteur de E. Montrer que les deux conditions suivantes sont ´equivalentes : a) Le noyau de p et l’image de p sont deux sous-espaces orthogonaux. b) Pour tout vecteur x de E, ∥p(x)∥ ≤ ∥x∥. Que devient ce r´esultat si E est euclidien, c’est-`a-dire si E est de dimension finie ? Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.