Exercices de Math´ematiques Matrices sym´etriques ou orthogonales (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soit A une matrice de Mn(R). Montrer que les deux conditions suivantes sont ´equivalentes. a) Il existe M dans Mn(R) telle que A = TMM. b) La matrice A est sym´etrique et ses valeurs propres sont ≥ 0. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit A une matrice sym´etrique r´eelle d’ordre n. On pose, pour toute matrice colonne X de Mn,1(R), ϕ(X, Y ) = TXAY . 1. Exprimer ϕ(X, Y ) en fonction des composantes de X et de Y dans une base orthonorm´ee de vecteurs propres de A, et en fonction des valeurs propres de A. 2. Montrer que l’application (X, Y ) �→ ϕ(X, Y ) d´efinit un produit scalaire si et seulement si toutes les valeurs propres de A sont strictement positives. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit A = (aij) une matrice sym´etrique r´eelle d’ordre n, de valeurs propres λ1, . . . , λn. Montrer que n � i,j=1 a2 ij = n � k=1 λ2 k. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] On consid`ere la matrice A carr´ee d’ordre n, dont le terme g´en´eral est aij = 1 i + j − 1. Montrer que les valeurs propres de A sont strictement positives. Indication : pour tout vecteur propre X, consid´erer TXAX. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.