Exercices de Math´ematiques Matrices sym´etriques ou orthogonales (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Montrer qu’il existe dans M2(R) une base form´ee de matrices orthogonales. Montrer que ce r´esultat reste vrai dans Mn(R). Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] 1. Montrer que < A, B >= tr ( TA · B) d´efinit un produit scalaire sur Mn(R). 2. Pour quelles matrices M l’application A → AM est-elle alors orthogonale ? Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que A = � � � � 1 − i −2 −3 4 −2 2 − i 18 2 −3 18 1 − i 1 4 2 1 3 − i � � � � est inversible. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soit A une matrice carr´ee sym´etrique, `a coefficients r´eels. On suppose que Am = I, pour un certain entier m. Montrer que A2 = I. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit A = (aij) une matrice orthogonale d’ordre n. Prouver n � i,j=1 ;;;aij;;; ≤ n√n et ��� n � i,j=1 aij ��� ≤ n. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.