Exercices de Math´ematiques Espaces euclidiens ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] D´eterminer les endomorphismes f de R3 euclidien orient´e tels que : ∀ u, v ∈ E, f(u ∧ v) = f(u) ∧ f(v). Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit F le sous-espace vectoriel de R4 (euclidien) d’´equations � x + y + z + t = 0 x − y + z − t = 0 D´eterminer la projection orthogonale sur F, par deux m´ethodes diff´erentes. Calculer la distance d(u, F) d’un vecteur u de R4 au sous-espace F. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace vectoriel euclidien. Soit f un endomorphisme de E qui “conserve l’orthogonalit´e”, c’est-`a-dire tel que, pour tous vecteurs u et v de E, < u, v > = 0 ⇒ < f(u), f(v) > = 0. Montrer qu’il existe un r´eel λ ≥ 0 tel que, pour tout vecteur u de E, ∥f(u)∥ = λ ∥u∥. Si λ > 0, on dit alors que f est une similitude de rapport λ. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient E un espace vectoriel euclidien et f un endomorphisme de E tel que f 2 = 0. Soit f ∗ l’adjoint de f. Montrer que Ker (f + f ∗) = Ker (f) ∩ Ker (f ∗). Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit E un espace vectoriel euclidien. Soit u ∈ L(E). On suppose que u ◦ u∗ = u∗ ◦ u. 1. Montrer que u et u∗ ont le mˆeme noyau. 2. Montrer que Sp(u) =Sp(u∗), et que pour toute valeur propre λ les sous-espaces propres de u et de u∗ pour λ sont identiques. 3. Montrer que les sous-espaces propres de u sont orthogonaux deux `a deux. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.