Cours de Math´ematiques Espaces pr´ehilbertiens et euclidiens Sommaire Espaces pr´ehilbertiens et euclidiens Sommaire I Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.1 D´efinition et premi`eres propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.2 Exemples classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I.3 Norme et distance associ´ees `a un produit scalaire . . . . . . . . . . . . 3 I.4 R`egles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 II Orthogonalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 II.2 Produits scalaires et familles orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.3 Orthogonal d’une partie de E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 II.4 Projection orthogonale sur un sev de dimension finie . . . . . . . . . . 8 III Endomorphismes sym´etriques ou orthogonaux . . . . . . . . . . . . 10 III.1 Adjoint d’un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III.2 Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 III.3 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 III.4 Endomorphismes sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 III.5 R´eduction des endomorphismes sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . 13 Dans ce chapitre, E est un espace vectoriel sur IK (IK = IR ou lC). Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.