Probl`emes de Math´ematiques Moindres carr´es discrets ´Enonc´e Moindres carr´es discrets Soit n un entier positif. On note (u, v) �→ < u, v > le produit scalaire canonique sur IRn, et u �→ ∥u∥ la norme associ´ee. On consid`ere un “nuage” N = (xi, yi)0≤i≤n−1 de n points (xi, yi) de IR2, et on suppose que les abscisses de ces points sont deux `a deux distinctes. Soit m un entier naturel. On consid`ere le probl`eme suivant : Pm : Trouver un polynˆome A, avec deg A ≤ m, qui minimise J(A) = n−1 � i=0 (A(xi) − yi)2. On dit que A, s’il existe, est la meilleure approximation de N au sens des moindres carr´es. 1. On suppose m ≥ n − 1. Rappeler pourquoi le probl`eme Pm admet une solution A. Quelle est alors la valeur de J(A) ? Cette solution est-elle unique ? Dans toute la suite, on suppose que m est inf´erieur ou ´egal `a n − 1. [ S ] 2. (a) En ´evaluant J(A+λB)−J(A) (pour tout r´eel λ, et tous A, B de IRm[X]), montrer que A est solution de Pm si et seulement si : ∀B ∈ IRm[X], n−1 � i=0 B(xi)(A(xi)−yi) = 0. [ S ] (b) En d´eduire l’unicit´e (si existence) de la solution de Pm. [ S ] Soit ε = (P0, P1, . . . , Pm) une base de IRm[X]. On note : • [A] le vecteur-colonne des composantes a0, . . . , am de A dans cette base. • [y] le vecteur-colonne des ordonn´ees y0, y1, . . . , yn−1. • M la matrice, de type n × (m + 1), de terme g´en´eral mi,j = Pj−1(xi−1). 3. (a) Montrer que A est solution de Pm si et seulement si ⊤MM[A] = ⊤M[y]. [ S ] (b) Montrer que ⊤MM est inversible. En d´eduire que Pm a une solution unique A. [ S ] (c) Montrer qu’alors J(A) = ⊤[y]N[y], avec N = In − M(⊤MM) −1 ⊤M. [ S ] (d) V´erifier qu’on retrouve bien J(A) = 0 quand m = n − 1. [ S ] 4. On va retrouver les r´esultats pr´ec´edents en adoptant un point de vue plus g´eom´etrique. Soit ϕ lin´eaire de matrice M, de IRm[X] muni de ε vers IRn muni de la base canonique. (a) V´erifier que ϕ est injective. [ S ] (b) Montrer que Pm ´equivaut `a trouver A dans IRm[X] dont l’image par ϕ est la projec- tion orthogonale de y = (y0, y1, . . . , yn−1) sur Im ϕ. Retrouver ainsi le r´esultat de la question (3a). [ S ] (c) G´eom´etriquement, que repr´esente la matrice M ′ = M(⊤MM) −1 ⊤M ? Retrouver ainsi le r´esultat de la question 3c). [ S ] 5. (a) D´eterminer A quand m = 0. Que vaut alors J(A) ? [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.