Probl`emes de Math´ematiques Matrices et d´eterminants de Gram ´Enonc´e Matrices et d´eterminants de Gram E est un espace euclidien de dimension n ≥ 1. On note (u, v) �→ < u, v > le produit scalaire, et u �→ ∥u∥ la norme associ´ee. Soit (u) = u1, . . . , um une famille de m vecteurs de E. On appelle matrice de Gram de (u) la matrice G = G(u1, u2, . . . , un), carr´ee et sym´etrique d’ordre m, dont le terme g´en´eral est gij = < ui, uj > . On note ∆(u1, u2, . . . , um) le d´eterminant de cette matrice G. On l’appelle le d´eterminant de Gram des vecteurs u1, u2, . . . , um. 1. Montrer que si (u) est li´ee, alors ∆(u1, u2, . . . , um) = 0. [ S ] 2. Soit F un sous-espace vectoriel de E contenant la famille (u). Soient (ε) une base ortho- norm´ee de F et M la matrice de la famille (u) dans cette base. (a) Montrer que la matrice G peut s’´ecrire G = TMM. [ S ] (b) Montrer que G, M ont mˆeme “noyau”, puis que G a mˆeme rang que la famille (u). [ S ] 3. (a) Montrer que les valeurs propres de G sont positives ou nulles (indication : pour toute matrice-colonne X, consid´erer le produit TXGX.) [ S ] (b) Montrer que chaque valeur propre de G est major´ee par m � j=1 ∥uj∥2. [ S ] 4. On suppose que la famille (u) est libre. Soit F le sous-espace de E engendr´e par u1, . . . , um. (a) Montrer que ∆(u1, u2, . . . , um) > 0. [ S ] (b) Montrer que la distance d de x au sous-espace F v´erifie d 2 = ∆(u1, u2, . . . , um, x) ∆(u1, u2, . . . , um) [ S ] (c) Soient x un vecteur de E, et p(x) sa projection orthogonale sur F. Montrer que p(x) = m � j=1 λj uj, avec � � � � λ1 λ2... λm � � � � = G−1 � � � � < u1, x > < u2, x > ... < um, x > � � � � [ S ] 5. On suppose que (u) est une base de E. Pour tout x de E, les produits scalaires < ui, x > sont appel´ees les coordonn´ees covariantes de x dans la base (u). Les composantes de x (au sens habituel) de x dans (u) sont appel´ees ses coordonn´ees contravariantes. Montrer comment x est d´etermin´e de mani`ere unique par ses coordonn´ees covariantes, en fonction desquelles on exprimera les composantes de x dans la base (u). [ S ] 6. Dans cette question, H est une matrice carr´ee sym´etrique d’ordre n, dont les valeurs propres sont toutes suppos´ees positives ou nulles. Montrer qu’il existe au moins une famille v1, v2, . . . , vn de vecteurs de IRn dont H est la matrice de Gram. (indication : diagonaliser H dans une base orthonorm´ee de IRn.) [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.