Probl`emes de Math´ematiques Polynˆomes de Chebyshev de seconde esp`ece ´Enonc´e Polynˆomes de Chebyshev de seconde esp`ece D’apr`es l’´epreuve b, fili`ere physique et chimie, du concours 1999 de l’´Ecole nationale du g´enie de l’eau et de l’environnement de strasbourg Dans tout le probl`eme, n est un entier fix´e sup´erieur ou ´egal `a 2. On identifiera un polynˆome P de IR[X] avec la fonction t → P(t) de [−1, 1] dans IR. PARTIE I Soit IRn[X] l’espace vectoriel des polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n. On munit IRn[X] de la base canonique B = (1, X, . . . , Xn). Soit ϕ l’application qui `a tout P de IRn[X] associe ϕ(P) = (1 − X2)P ′′(X) − 3XP ′(X). 1. (a) Montrer que ϕ est un endomorphisme de IRn[X]. [ S ] (b) Ecrire la matrice de ϕ dans la base B. [ S ] (c) D´eterminer les valeurs propres de ϕ. [ S ] (d) Montrer que ϕ est diagonalisable. [ S ] 2. (a) Montrer qu’il existe une unique base (P0, . . . , Pn) de vecteurs propres de coefficients dominants ´egaux `a 1, tels que pour 0 ≤ k ≤ n, Pk soit de degr´e k. [ S ] (b) D´eterminer P0, P1, P2, P3. [ S ] (c) Pr´eciser la parit´e de Pn. Calculer le coefficient de Xn−2 dans Pn. [ S ] 3. On suppose dans cette question que n est impair. On consid`ere l’´equation diff´erentielle (En) : (1 − x2)y′′ − 3xy′ + n(n + 2)y = 0. (a) Montrer qu’il existe une solution de (En), d´eveloppable en s´erie enti`ere sous la forme � p≥0 a2px2p, les coefficients a2p (que l’on ne ne cherchera pas `a calculer) ´etant non nuls. D´eterminer le rayon de convergence. [ S ] (b) En d´eduire toutes les solutions de (En) sur l’intervalle ] − 1, 1[. [ S ] Remarque : L’´etude du cas pair est analogue et elle n’est pas demand´ee. PARTIE II On note E l’espace des fonctions continues de [−1, 1] dans IR. Pour f et g dans E on pose : < f, g > = � 1 −1 f(t)g(t) √ 1 − t2 dt. 1. (a) Montrer que l’on d´efinit ainsi un produit scalaire dans E. [ S ] (b) Calculer < Xi, Xj > pour i et j dans IN. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.