Probl`emes de Math´ematiques Produit scalaire sur des matrices 2 × 2 ´Enonc´e Produit scalaire sur des matrices 2 × 2 D’apr`es Maths II, fili`ere PC, Centrale-Sup´elec 1998 Si A est une matrice de Mn(IR), tr (A) d´esigne la trace de A. On pourra utiliser, sans d´emonstration, le r´esultat suivant : si A est une matrice de Mn,p(IR) et B une matrice de Mp,n(IR), on a tr (AB) = tr (BA). Le probl`eme porte sur des matrices carr´ees d’ordre 2 `a coefficients r´eels. L’ensemble de ces matrices sera not´e M. On notera E la matrice unit´e : E = � 1 0 0 1 � On d´esignera par B la base canonique de M, constitu´ee des matrices suivantes : E1 = � 1 0 0 0 � , E2 = � 0 0 1 0 � , E3 = � 0 1 0 0 � , E4 = � 0 0 0 1 � On note D l’ensemble des matrices scalaires, c’est-`a-dire de la forme aE, avec a r´eel. On d´esigne par N l’ensemble des matrices A de M dont la trace est nulle. On note s(A) la “matrice compl´ementaire” de la matrice A, qui est par d´efinition la transpos´ee de la matrice des cofacteurs de A. L’espace vectoriel IR2 est identifi´e `a l’espace des matrices colonnes M2,1(IR) et il est muni de sa structure euclidienne canonique pour laquelle le produit scalaire des vecteurs X et Y est donn´e par TXY . La norme associ´ee est not´ee X �→ ∥X∥. Dans M, on note A l’ensemble des matrices antisym´etriques, S celui des matrices sym´etriques, et U celui des matrices orthogonales. On d´esigne enfin par S+ l’ensemble des matrices sym´etriques positives, c’est-`a-dire l’ensemble des matrices A de S qui v´erifient TXAX ≥ 0 quel que soit X dans IR2. Les parties (A) et (B) sont, dans une large mesure, ind´ependantes. Partie A 1. (a) Montrer que s est un endomorphisme de M et donner sa matrice dans la base B. [ S ] (b) Montrer que les matrices suivantes constituent une base de M ; E = B1 = � 1 0 0 1 � , B2 = � 1 0 0 −1 � , B3 = � 0 1 1 0 � , B4 = � 0 1 −1 0 � [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.