Probl`emes de Math´ematiques Familles obtusangles ou acutangles ´Enonc´e Familles obtusangles ou acutangles NB : Pour la d´efinition des matrices de Gram, voir le probl`eme consacr´e `a ces matrices. E est un espace euclidien de dimension n ≥ 1. On note < u, v > le produit scalaire de deux vecteurs u et v de E, et ∥u∥ la norme associ´ee. Partie I : Familles strictement obtusangles Soit (u) = u1, . . . , um une famille de m vecteurs de E. On dit que (u) est obtusangle si pour tous indices i, j distincts de {1, . . . , m}, < ui, uj > ≤ 0. On que cette famille est acutangle si pour tous i, j distincts, on a < ui, uj > ≥ 0. On d´efinit de mˆeme les familles : – strictement obtusangles (in´egalit´es < ui, uj > < 0 pour i ̸= j) – strictement acutangles (in´egalit´es < ui, uj > > 0 pour i ̸= j). 1. Soit u1, . . . , um une famille strictement obtusangle et li´ee. existe donc m scalaires λ1, . . . , λm, non tous nuls, tels que m � k=1 λkuk = 0. Quitte `a remplacer ces scalaires par leurs oppos´es, on peut supposer que l’un au moins des λk est strictement positif. On va montrer qu’alors tous les λk sont strictement positifs. On note I l’ensemble (non vide) des indices i de {1, . . . , m} tels que λi > 0. Soit J le compl´ementaire de I dans {1, . . . , m}. On suppose par l’absurde J ̸= ∅. L’´egalit´e m � k=1 λkuk = 0 s’´ecrit alors � i∈I λiui = � j∈J (−λj)uj. Soit v le vecteur de E d´esign´e par cette ´egalit´e. (a) Montrer que v est nul. [ S ] (b) Soit j un ´el´ement de J. Consid´erer < v, uj > et conclure. [ S ] 2. D´eduire de ce qui pr´ec`ede qu’une famille strictement obtusangle de m vecteurs est de rang m ou de rang m − 1, et que toute famille strictement obtusangle de E est n´ecessairement form´ee d’au plus n + 1 vecteurs. [ S ] 3. Dans cette question on va prouver qu’il existe effectivement dans E des familles stricte- ment obtusangles et de cardinal n + 1. On va mˆeme montrer qu’il existe une famille u0, u1, . . . , un form´ee de n + 1 vecteurs unitaires, et telle que les produits scalaires < ui, uj > (pour tous indices i, j distincts) soient ´egaux `a une mˆeme quantit´e strictement n´egative c. Pour la commodit´e de la notation, une telle famille de E sera dite “sp´eciale”. (a) Montrer que si une telle famille existe, alors u0 + u1 + · · · + un = −→0 et c = −1 n. [ S ] Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.