Exercices de Math´ematiques Polynˆomes : d´erivation et coefficients ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Soient a, b deux entiers relatifs (b ̸= 0) et n un entier naturel. Montrer que P = 1 n!Xn(a−bX)n et toutes ses d´eriv´ees prennent des valeurs enti`eres en x = 0 et en x = a b. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Trouver un polynˆome P tel que P(1) = 3, P ′(1) = 4, P ′′(1) = 5 et ∀ n ≥ 3, P (n)(1) = 0. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Pour tous polynˆomes P et Q de lC[X], on pose [P, Q] = PQ − PQ. 1. Discuter le degr´e de [P, Q] si deg P = p et deg Q = q. 2. Montrer que pour tous polynˆomes P, Q, R : [[P, Q], R] + [[Q, R], P] + [[R, P], Q] = 0. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Un polynˆome unitaire P de degr´e n v´erifie : nP = (X − a)P ′ + 2bP ′′. D´eterminer les coefficients de P ordonn´es suivant les puissances de X − a. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soient A et B deux polynˆomes `a coefficients entiers. On suppose que les coefficients de A sont premiers entre eux dans leur ensemble, et qu’il en est de mˆeme pour B. Montrer qu’il en est de mˆeme pour AB. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.