Exercices de Math´ematiques Polynˆomes : racines et multiplicit´es ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] On se donne trois scalaires a, b, c, diff´erents deux `a deux et non nuls. Montrer que les polynˆomes A = X(X − b)(X − c) a(a − b)(a − c) + X(X − c)(X − a) b(b − c)(b − a) + X(X − a)(X − b) c(c − a)(c − b) et B = 1 + 1 abc(X − a)(X − b)(X − c) sont ´egaux. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] D´eterminer an et bn pour que An = anXn+1 + bnXn + 1 soit divisible par B = (X − 1)2. Former alors le quotient Qn dans la division de An par B. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Quand le polynˆome A = (X + 1)n − Xn − 1 est-il divisible par B = X2 + X + 1 ? Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Trouver un polynˆome A de degr´e 5 sachant que le reste dans sa division par (X + 1)3 est −5 et que le reste dans sa division par (X − 1)3 est 11. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que (X − 1)3 divise An = (1 + X)(Xn − 1) + 2nXn(1 − X) + n2Xn−1(X − 1)2. Calculer le quotient de la division de An par (X − 1)3. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que Pn = 1 + X + 1 2!X2 + 1 3!X3 + · · · + 1 n!Xn n’a que des racines simples dans lC. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.