Exercices de Math´ematiques Divisions euclidiennes de polynˆomes (I) ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que pour tout polynˆome P : P(P(X)) − X est divisible par P(X) − X. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Soit A un polynˆome dont les restes dans les divisions par X − 1, X − 2 et X − 3 sont respecti- vement 3, 7 et 13. D´eterminer le reste dans la division de A par B = (X − 1)(X − 2)(X − 3). Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Calculer la valeur de A = X4 − X3 − 3X2 + 3X − 4 en a = 1 + 3√ 2. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Quel est le reste dans la division de A = (X sin θ + cos θ)n par B = X2 + 1 ? Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Soit a un nombre r´eel ou complexe. On pose A = X4 − X + a et B = X2 − aX + 1. D´eterminer a pour que A et B aient au moins un z´ero en commun. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.