Exercices de Math´ematiques Polynˆomes : arithm´etique, pgcd, ppcm ´Enonc´es ´Enonc´es des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que deux polynˆomes A et B sont premiers entre eux ⇔ AB et A + B le sont. Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] Montrer que le Pgcd de Xn − 1 et de Xp − 1 est Xpgcd(n,p) − 1. Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ] Soient P, Q deux polynˆomes de lC[X], premiers entre eux, et tels que P 2 + Q2 admette a pour racine double. Montrer que a est racine de P ′2 + Q′2. Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ] Soient A, B dans IK[X] (non tous deux nuls) et soient U, V tels que AU + BV = pgcd(A, B). Montrer que U et V sont premiers entre eux. Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ] Trouver tous les polynˆomes U et V tels que (X − 1)3U + (X + 1)2V = 1. Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ] D´eterminer deux polynˆomes S et T de degr´e 5 tels que (1 − X)6S + X6T = 1. Page 1 Jean-Michel Ferrard www.klubprepa.net c⃝EduKlub S.A. Tous droits de l’auteur des œuvres r´eserv´es. Sauf autorisation, la reproduction ainsi que toute utilisation des œuvres autre que la consultation individuelle et priv´ee sont interdites.